Question

10．M在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{3x+4y≥4}\\{y-3≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域上，点N在曲线x²+y²+4x+3=0上，那么|MN|的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{3}$-1
• D． $\frac{2\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用配方法求出圆的标准方程，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由x²+y²+4x+3=0得（x+2）²+y²=1，则圆心为D（-2，0），半径R=1，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知，当NM垂直直线3x+4y=4时，D到区域内的距离最小，此时MN最小，
DM=$\frac{|-6+0-4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2，
则MN的最小值为MN=DM-R=2-1=1，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．