Question

20．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），直线l：y=x+m与抛物线交于不同的两点A，B，若0≤m＜1，则△FAB的面积的最大值是$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的方程，由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x²+（2m-4）x+m²=0，利用根与系数的关系，结合弦长公式，求出直线l被抛物线E所截得弦长|AB|，得出△FAB面积表达式，利用基本不等式求出最值来．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），
∴抛物线的方程为y²=4x
由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x²+（2m-4）x+m²=0，
由直线l与抛物线E有两个不同交点，
得△=（2m-4）²-4m²=16-16m＞0在0≤m＜1时恒成立；
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4-2m，x₁x₂=m²；
|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-m}$
又∵点F（1，0）到直线l：y=x+m的距离为d=$\frac{|1+m|}{\sqrt{2}}$，
∴△FAB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=2$\sqrt{（1-m）（1+m）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-2m）（1+m）（1+m）}$
≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2-2m+1+m+1+m}{3}）^{3}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$
当且仅当2-2m=1+m，即m=$\frac{1}{3}$时取等号，即△FAB的面积的最大值为$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，确定三角形的面积，正确运用基本不等式是关键．