Question

11．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若 连续两发命中或者 连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为$\frac{2}{3}$．
（1）求张同学前两发只命中一发的概率；
（2）求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）记“第k发子弹命中目标”为事件A_k，则A₁，A₂，A₃，A₄，A₅相互独立，且$P（{A_k}）=\frac{2}{3}$，其中k=1，2，3，4，5，由此能求出张同学前两发子弹只命中一发的概率．
（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记“第k发子弹命中目标”为事件A_k，则A₁，A₂，A₃，A₄，A₅相互独立，
且$P（{A_k}）=\frac{2}{3}$，其中k=1，2，3，4，5
∴张同学前两发子弹只命中一发的概率为$P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）=\frac{4}{9}$…4分
（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，
$P（X=2）=P（{A_1}{A_2}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}）=\frac{5}{9}$，…6分
$P（X=3）=P（\overline{A_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）=\frac{2}{9}P（\overline{A_k}）=\frac{1}{3}$，…8分
$P（X=4）=P（{A_1}\overline{A_2}{A_3}{A_4}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}\overline{A_4}）=\frac{10}{81}$，…9分
$P（X=5）=P（{A_1}\overline{A_2}{A_3}\overline{A_4}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}{A_4}）=\frac{8}{81}$，…10分
综上，X的分布列为

X	2	3	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

故E（X）=$2×\frac{5}{9}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{10}{81}+5×\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$．…12分．

点评 本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．