Question

7．在单调递增的等比数列{a_n}中，a₁•a₉=64，a₃+a₇=20，求a₁₁=64．

Answer 1

分析 由已知得a₃，a₇是方程x²-20x+64=0的两个根，且a₃＜a₇，从而求出a₃=4，a₇=16，再由等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出a₁₁．

解答 解：∵单调递增的等比数列{a_n}中，
a₁•a₉=64，a₃+a₇=20，
∴a₃•a₇=a₁•a₉=64，
∴a₃，a₇是方程x²-20x+64=0的两个根，且a₃＜a₇，
解方程x²-20x+64=0，
得a₃=4，a₇=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{6}=16}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=2，q=\sqrt{2}$，
∴a₁₁=a₁q¹⁰=2×（$\sqrt{2}$）¹⁰=64．
故答案为：64．

点评 本题考查等比数列的第11项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．