Question

5．已知f（x）=3x|x|，且f（1-a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）是增函数同时也是奇函数，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：当x≥0时，f（x）=3x²，此时函数为增函数且f（x）≥0，
当x＜0时，f（x）=-3x²，此时函数为增函数且f（x）＜0，
综上函数f（x）在R上是增函数，
∵f（-x）=-3x|x|=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
则不等式f（1-a）+f（2a）＜0等价为f（2a）＜-f（1-a）=f（a-1），
则2a＜a-1，
得a＜-1，
即实数a的取值范围是（-∞，-1），
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性是解决本题的关键．