Question

已知椭圆，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A．B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则|MF|：|AB|的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：因为|MF|：|AB|的值为常数，因此采用特殊的直线AB的位置求|MF|：|AB|的值．不妨设直线AB的斜率为1，得直线AB的方程为y=x+2，与椭圆方程消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和弦长公式分别算出|MF|、|AB|的大小，从而得到直线AB的斜率为1时的|MF|：|AB|值，由此即可得到本题的答案．
解答：解：因为|MF|：|AB|的值为常数，与直线AB的方向无关，所以考虑取特殊位置求|MF|：|AB|的值．
取直线的斜率为1，左焦点为F（-2，0）
∴直线AB的方程为y=x+2，联立方程组
消去y，整理得14x²+36x-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
代入直线方程，可得y₁+y₂=（x₁+2）+（x₂+2）=，
∴AB中点坐标为（-，），则AB的中垂线方程为y-=-（x+），
令y=0，得x=-，∴点N的坐标（-，0）．
∴|NF|==，|AB|==
因此，|MF|：|AB|的值为：=
故选：B
点评：本题给出椭圆焦点弦的垂直平分线，求垂直平分线与x轴交点与焦点距离跟弦长AB的比值，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．