Question

19．阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车，其中购车费用12.8万元，每年的保险费、汽油费约为0.95万元，年维修、保养费第一年是0.1万元，以后逐年递增0.1万元．请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？

Answer 1

分析 由题意可得每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列，运用等差数列的求和公式，设汽车的年平均费用为y万元，则有y=$\frac{12.8+0.95x+0.05x（x+1）}{x}$=1+$\frac{12.8}{x}$+0.05x（x＞0），再由基本不等式即可得到所求最小值，及等号成立的条件．

解答 解：依题意知汽车每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列．
因此汽车使用x年总的维修、保养费用为$\frac{x（0.1+0.1x）}{2}$=0.05x（x+1）万元，
设汽车的年平均费用为y万元，
则有y=$\frac{12.8+0.95x+0.05x（x+1）}{x}$=1+$\frac{12.8}{x}$+0.05x（x＞0），
由x＞0，可得$\frac{12.8}{x}$+0.05x≥2$\sqrt{\frac{12.8}{x}•0.05x}$=1.6，
当且仅当$\frac{12.8}{x}=\frac{0.1x}{2}$，即x=16时等号成立．
则y≥2.6，当x=16时，取得最小值2.6．
答：这种汽车使用16年时，它的年平均费用最少．

点评 本题考查数学模型的应用题的解法，注意运用等差数列的求和公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．