题目内容
已知数列
，
满足：
，当
时，
；对于任意的正整数
，
．设
的前项和为
.
（1）计算
，并求数列的通项公式；
（2）求满足
的的集合.
【答案】
（1）
（2）
【解析】(1)先求出数列
的通项公式是求解本题的关键.由
及
两式相减可得：
，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为
，而
，故是公差为
的等差数列.
（2）在第（1）问的基础上，可求出{
}的通项公式，进而求出
的通项公式.
然后再根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和,之后再确定sn的单调性进而确定其取值范围.
解：（1）在中，取
，得
，又，
，故
同样取
可得
……………………分
由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，
……………………
分
注：猜想
而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.
（2）在
中令
得
……………………
分
又
，与
两式相减可得：
，
，即当
时，
经检验，
也符合该式，所以，的通项公式为………………9分
.
相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得：
……………………11分
可见，
，
……………………12分
经计算，
，注意到 的各项为正，故
单调递增，所以满足
的
的集合为……………………14分.
练习册系列答案
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R）对于
。
；
，求数列
的通项
；
中，存在一项
满足
，
满足
，且当
（
）时，
．令
．
的所有可能取值；
的最大值．
，当n= 时，
取得最小值．
，求an；