Question

20．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足$a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，求不等式|-2x+1|≥ab的解集；
（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x-|x-a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|-2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a-1）（a-2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．

解答 解：（I）由已知$a+b=\frac{a+b}{ab}$，
∵a、b不为0，∴ab=1，或a+b=0，
①ab=1时，原不等式相当于|-2x+1|≥1，
所以，-2x+1≥1或-2x+1≤-1，
解得：{x|x≤0或x≥1}，
②a+b=0时，a，b异号，ab＜0，
不等式|-2x+1|≥ab的解集是R；
（Ⅱ）由已知得，|x-a|≥x-1≥0，
（x-a）²≥（x-1）²，（a-1）（a-2x+1）≥0，
a=1时，（a-1）（a-2x+1）≥0恒成立，
a＞1时，由（a-1）（a-2x+1）≥0得，a≥2x-1，从而a≥3，
a＜1时，由（a-1）（a-2x+1）≥0得，a≤2x-1，从而a≤1，
综上所述，a的取值范围为（-∞，1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．