题目内容
19．已知函数f（x）=xlnx+（x-1）2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个结论：①$0＜{x_0}＜\frac{1}{e}$；
②$\frac{1}{e}＜{x_0}＜1$；
③f（x0）+x0＜0；
④f（x0）+x0＞0
其中结论正确的是②④．（写出所有正确结论的序号）
分析 求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+（x0-1）2+x0=x0（lnx0+2x0-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$＞0，可判断③④．
解答 解：f（x）=xlnx+（x-1）2，定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+2x-1，显然f′（x）是增函数，
而f′（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{2}{e}$＜0，f′（1）=1＞0，
∴$\frac{1}{e}$＜x0＜1，
∴①错误，②正确，
f（x0）+x0=x0lnx0+（x0-1）2+x0=x0（lnx0+2x0-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$=1-${{x}_{0}}^{2}$＞0
∴③错误，④正确，
故答案为：②④．
点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，是中档题．
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| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 3 | D． | 2 |
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11．
下图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①-3是函数y=f（x）的极小值点；
②-1是函数y=f（x）的极小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1）上单调增．
则正确命题的序号是（ ）
下图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①-3是函数y=f（x）的极小值点；
②-1是函数y=f（x）的极小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1）上单调增．
则正确命题的序号是（ ）
| A． | ①④ | B． | ①② | C． | ②③ | D． | ③④ |
8．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-2ax）有两个极值点x1，x2（$x_1^{\;}＜{x_2}$）（ ）
| A． | f（x1）＜0，$f（{x_2}）＞-\frac{1}{2}$ | B． | f（x1）＜0，$f（{x_2}）＜\frac{1}{2}$ | C． | f（x1）＞0，$f（{x_2}）＜-\frac{1}{2}$ | D． | f（x1）＞0，$f（{x_2}）＞\frac{1}{2}$ |
9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，曲线f（x）=ex在点（0，1）处的切线方程为2mx-ny+1=0，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\sqrt{2}$x | B． | y=±2x | C． | y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x | D． | y=±$\frac{1}{2}$x |