Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，且与椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}$=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，①求出椭圆的焦点坐标，可得c=3，即a²+b²=9，②，解方程可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，①
椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}$=1的焦点为（±3，0），
可得c=3，即a²+b²=9，②
由①②可得a=2，b=$\sqrt{5}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基础题．