Question

11．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2^x}&{（{x≤2}）}\\{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}&{（{x＞2}）}\end{array}}$，则函数y=f（1-x）的最大值为4．

Answer 1

分析 运用指数函数和对数函数的单调性，求得f（x）的最大值，再由对称和平移变换可得y=f（1-x）的图象，即可得到所求最大值．

解答 解：由函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2^x}&{（{x≤2}）}\\{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}&{（{x＞2}）}\end{array}}$，可得：
x≤2时，2^x≤4，且当x=2时，取得最大值4；
x＞2时，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1．
即有函数f（x）的最大值为4；
函数f（-x）的图象可由f（x）的图象关于y轴对称得到，
则函数f（-x）的最大值为4，
函数y=f（1-x）的图象可由函数y=f（-x）图象向右平移得到．
则函数y=f（1-x）的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用图象变换：对称和平移，同时考查指数函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．