Question

已知f（x）=-

1

3

x3+ax+blnx，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）=0．
（Ⅰ）若x=1不是f（x）的极值点，求a，b的值．
（Ⅱ）若函数y=f（x）有零点，求（a+2）²+b²的取值范围．

Answer 1

分析：对函数求导，（1）根据函数在x=1处的导数等于0，以及x=1不是f（x）的极值点，得到关于a，b的方程，即可得到结果；
（2）先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围，
再由二次函数即可求（a+2）²+b²的取值范围．

解答：解：f′(x)=

(1-x)(x2+x+1-a)

x

（Ⅰ）由f'（1）=0得a+b=1，
由于x=1不是f（x）的极值点，
所以x=1是方程x²+x+1-a=0的根，得a=3，b=-2
（Ⅱ） f′(x)=

(1-x)(x2+x+1-a)

x

（1）当a≤1时，f（x）在（0，1）上递增，（1，+∞）上递减，
f(x)max=f(1)=a-

1

3

当a-

1

3

≥0即

1

3

≤a≤1时，函数y=f（x）有零点
（2）当a＞1时，f(1)=a-

1

3

＞0，f(

3

a)=(1-a)ln(

3

a)＜0
由零点存在定理，f（x）在(1，

3

a)内有零点，从而在（0，+∞）内有零点
所以当a≥

1

3

时，函数有零点．
又由a+b=1，故当a=

1

3

时，（a+2）²+b²取得最大值且最大值为

53

9

．

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．