题目内容
12．a1=2×（1-$\frac{1}{4}$），a2=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），
a3=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$），
a4=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$），
，…，
an=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$），
（1）求出a1，a2，a3，a4；
（2）猜测an=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）的取值并且用数学归纳法证明．
分析 （1）由题设条件，能够求出a1，a2，a3，a4的值．
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：an=$\frac{n+2}{n+1}$，（n∈N*），检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
解答 解：（1）a1=$\frac{3}{2}$，a2=$\frac{4}{3}$，a3=$\frac{5}{4}$，a4=$\frac{6}{5}$；
（2）猜想：an=$\frac{n+2}{n+1}$
证明：①当n=1时，a1=$\frac{3}{2}$=$\frac{1+2}{1+1}$ 显然成立，
②假设当n=k（k∈N*）命题成立，即ak=$\frac{k+2}{k+1}$，
则当n=k+1时，ak+1=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$），
=ak•（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）=$\frac{k+2}{k+1}$•$\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{k+2}$
∴由①②）可知，an=$\frac{n+2}{n+1}$对n∈N*成立
点评 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．
练习册系列答案
智慧小复习系列答案
相关题目
3．若$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=$\frac{1}{2}$，则sinα•cosα=（ ）
| A． | -$\frac{3}{10}$ | B． | $\frac{3}{10}$ | C． | -$\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{2}{5}$ |
7．已知sinα＜0且cosα＞0，则α的终边落在（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
17．化简$\frac{1}{{{2^2}-1}}+\frac{1}{{{4^2}-1}}+\frac{1}{{{6^2}-1}}+\frac{1}{{{8^2}-1}}+\frac{1}{{{{10}^2}-1}}$=（ ）
| A． | $\frac{7}{12}$ | B． | $\frac{7}{11}$ | C． | $\frac{7}{10}$ | D． | $\frac{5}{11}$ |