Question

已知x，y满足

1

4

x2-4≤y≤

3

4

16-x2

，则函数z=|x+y-10|的最大值与最小值之和为

20

．

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=|x+y-10|=

2

×

|x+y-10|

2

，再利用几何意义是点到直线的距离求最值，只需求出可行域内的点到直线x+y-10=0的距离的最值，从而得到z最值即可．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分．
其下边办界是抛物线：y=

1

4

x2-4，
上边界是椭圆的一部分：y=

3

4

16-x2

．
z=|x+y-10|=

2

×

|x+y-10|

2

，
设平行于直线x+y-10=0的直线的方程为x+y+m=0，
①由

x+y+m=0 y= 3 4 16-x2

得25x²+32mx+16m²-9×16=0，
由△=0，得m=±5，
∵当平行于直线x+y-10=0的直线x+y-5=0和椭圆相切时，
切点到直线x+y-10=0的距离最小，最小为

2

×

|10-5|

2

=

5 2

2

×

2

=5，
∴目标函数z=|x+y-10=0|的最小值是5，
②由

x+y+m=0 y= 1 4 x2-4

得

1

4

x2+x+m-4=0，
由△=0，得m=5，
当平行于直线x+y-10=0的直线x+y+5=0和抛物线相切时，
切点到直线x+y-10=0的距离最大，最大为

2

×

|10+5|

2

=

15 2

2

×

2

=15，
∴目标函数z=|x+y-10|的最大值是15，
则函数z=|x+y-10|的最大值与最小值之和为 20
故答案为：20．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．