Question

12．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=2，若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}，则\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=18．

Answer 1

分析 在直角三角形ABC中，求得cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．

解答 解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=2，
cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}，则\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$²=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$²
=$\frac{3}{2}$×16-$\frac{5}{2}$×4×2×$\frac{1}{2}$+4=18．
故答案为：18．

点评 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．