Question

9．已知函数f（x）=sin²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x．
（1）求函数f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，可得函数f（x）的解析式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到函数f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=sin²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
所以函数f（x）的解析式为简$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；最小正周期T=π．
（2）由（1）得知$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，那么：$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）≤0$
∴函数f（x）的值域是$[{-\frac{1}{2}，0}]$．

点评 本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力，对三角函数的理解，属于基础题．