Question

15．已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥|a-1|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；
（2）要使f（x）≥|a-1|对任意实数x∈R成立，得到|a-1|≤3，解出即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞5即为|x+2|+|x-1|＞5，
等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x+1＞5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x+2-x+1＞5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2+x-1＞5}\end{array}}\right.$，
解得x＜-3或x＞2，
因此，原不等式的解集为{x|x＜-3或x＞2}；
（2）f（x）=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
要使f（x）≥|a-1|对任意实数x∈R成立，
须使|a-1|≤3，
解得：-2≤a≤4．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．