Question

16．已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出函数的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=$\frac{1}{2a}$时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
g′（x）=$\frac{1-2ax}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去，
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递增，
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=$\frac{1}{2a}$时，函数g（x）取得极大值，
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
则g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．