Question

17．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，0＜β＜$\frac{π}{2}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，cos（β-α）=$\frac{5}{13}$，则sinβ的值是（　　）

• A． $\frac{63}{65}$
• B． $\frac{33}{65}$
• C． $\frac{16}{65}$
• D． $-\frac{33}{65}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα、sin（β-α）的值，再利用两角和的正弦公式求得 sinβ=sin[（β-α）+α]的值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，0＜β＜$\frac{π}{2}$，tanα=-$\frac{3}{4}$=$\frac{sinα}{cosα}$，sin²α+cos²α=1，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{5}$，
∵cos（β-α）=$\frac{5}{13}$＞0，∴β-α为锐角，故sin（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=$\frac{12}{13}•（-\frac{4}{5}）$+$\frac{5}{13}•\frac{3}{5}$=-$\frac{33}{65}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．