Question

18．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为$\frac{3}{2}$c，c为半焦距．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点A斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A的坐标，代入椭圆方程得到b，c的关系式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率；
（2）由离心率得到a，c的关系，写出直线l的方程，与椭圆方程联立，求得B点坐标，由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$求得c值，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）由已知可知椭圆过点$A（\frac{a}{2}，\frac{3c}{2}）$，
代入方程有$\frac{{\frac{a^2}{4}}}{a^2}+\frac{{\frac{{9{c^2}}}{4}}}{b^2}=1$，得b²=3c²，
又a²=b²+c²，∴a²=4c²，
∴$e=\frac{1}{2}$；
（2）由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$\frac{a}{2}=c$，
∴点$A（c，\frac{3}{2}c）$，直线$l：y=\frac{1}{2}x+c$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+c\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$，解得B（-2c，0）．
又P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），由已知$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
即$（c-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}c-\frac{9}{2}）•（-2c-\frac{1}{2}，-\frac{9}{2}）=0$．
得$（\frac{1}{2}-c）（\frac{1}{2}+2c）-\frac{9}{2}（\frac{3c}{2}-\frac{9}{2}）=0$．
解得c=2．
∴a=4，b²=a²-c²=12．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量垂直与数量积关系的应用，是中档题．