Question

16．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：

居民编号			28
问卷得分	36	52	78	70	16	100	72	78	100	24	40	78	78	80	94	55	77	73	58	55

（注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高）
（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；
（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图，试通过茎叶图中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度（不要求算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到“持赞同态度”居民的概率；
（ii）若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为ξ．每次抽取结果相互独立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）数列{a_n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a_n}为等差数列，即可求出答案；
（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人，即可求出答案，
（ii）由题意知ξ～B（4，$\frac{3}{5}$），故ξ的分步列如下表，根据数学期望和方差的计算公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）记数列{a_n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a_n}为等差数列，公差d=10，
且a₃=28，得到为100分的居民编号分别对应为a₆，a₉，
则a₆=a₃+3d=58，a₉=a₃+6d=88，
所以得分为100分的居民编号分别为58，88，
（Ⅱ）通过茎叶图可以看出，该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值，
农村居民问卷得分的中位数为$\frac{1}{2}$（94+96）=95，城市居民问卷得分的中位数为$\frac{1}{2}$（72+73）=72.5，
农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数，
所以农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人，
每次抽到“持赞同态度”居民的概率为$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
（ii）由题意知ξ～B（4，$\frac{3}{5}$），故ξ的分步列如下表，

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

E（ξ）=4×$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$
所以D（ξ）=np（1-p）=4×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{24}{25}$

点评 本题考查了独立事件的概率，分布列和数学期望和方差，属于中档题．