Question

1．已知函数f（x）=|x-a|+|x+1|．
（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；
（2）若f（x）≥4-|a-1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=2，f（x）=|x-2|+|x+1|＜5，分类讨论求得它的解集．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a+1|，可得|a+1|≥4-|a-1|，由此求得a的范围．

解答 解：（1）若a=2，f（x）=|x-2|+|x+1|＜5．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x＜5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{3＜5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-1＜5}\end{array}\right.$，
解得x∈（-2，3）；
（2）∵f（x）≥4-|a-1|对任意的实数x恒成立，
∴f（x）=|x-a|+|x+1|≥|x-a-x-1|=|a+1|≥4-|a-1|
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{2≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{2a≥4}\end{array}\right.$
∴a≤-2或a≥2
∴a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．