题目内容
20．已知函数f（x）=x3-3ax，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，+∞） | B． | [0，+∞） | C． | （-∞，0） | D． | （-∞，0] |
分析 求导f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．
解答 解：∵f（x）=x3-3ax2，
∴f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；
当a=0时，f（x）=x3-3ax2在R上是增函数，
故f（x）存在唯一的零点；
当a＜0时，f（x）=x3-3ax2在（-∞，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
而且f（0）=0，f（x）存在唯一的零点；
当a＞0时，f（x）=x3-3ax2在（-∞，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；
而且f（0）=0，故只需使f（2a）=8a3-12a3＞0，无解
综上所述，a的取值范围为[-∞，0]，
故选：D．
点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．
练习册系列答案
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11．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
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15．下列命题正确的是（ ）
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| C． | 在回归直线$\widehat{y}$=-0.5x+3中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量$\widehat{y}$平均减少0.5个单位 | |
| D． | 若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜$\frac{1}{4}$成立的概率是$\frac{π}{16}$ |
12．
如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（ ）
如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（ ）| A． | $\frac{5π}{6}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | π |