Question

若（1-2^x）⁹展开式中第3项是288，则

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的第3项，列出方程求出x；利用等比数列的前n项和公式化简极限，求出极限值．

解答：解：展开式的第3项为T₃=C₉²（-2^x）²=288
解得x=

3

2

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)
=

lim

n→∞

1- 1 xn

x-1

=

1

x-1

=2
故答案为：2

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查等比数列的前n项和公式、考查常见特殊函数的极限值．