Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinA+sinC=2sin（A+C）
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）若b=1，B=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由sinA+sinC=2sin（A+C）=2sinB，由正弦定理可得：a+c=2b，即可证明；
（II）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，解得ac=1，又a+c=2，解得a，c．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$即可得出．

解答 （I）证明：∵sinA+sinC=2sin（A+C）=2sinB，
由正弦定理可得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差数列；
（II）解：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴1=4-3ac，解得ac=1，
又a+c=2，
解得a=c=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．