Question

20．已知命题p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，命题q：函数f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数的取值范围$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．

Answer 1

分析 命题p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，则m=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈$（-\frac{1}{4}，2）$．命题q：函数f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函数．可得0＜m²-m+1＜1，解得m范围．根据p或q为真，p且q为假，p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，则m=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈$[-\frac{1}{4}，2）$．
命题q：函数f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函数．∴0＜m²-m+1＜1，解得0＜m＜1．
若p或q为真，p且q为假，
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤m＜2}\\{m≤0或m≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{4}或m≥2}\\{0＜m＜1}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{4}≤m≤$0，或1≤m＜2，或∅．
则实数的取值范围是$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．
故答案为：$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．