Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，则S₂₀₁₇=1009．

Answer 1

分析 推导出a₁=1，a₂=1，a₃=0，a₄=0，a₅=1，a₆=1，…，从而数列{a_n}是以4为周期的数列，由此能求出S₂₀₁₇的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，
∴a₂-a₁=$cos\frac{π}{2}$=0，
a₃-a₂=cosπ=-1，
a₄-a₃=$cos\frac{3π}{2}$=0，
a₅-a₄=cos2π=1，
a₆-a₅=$cos\frac{5π}{2}$=cos$\frac{π}{2}$=0，
…
∴a₁=1，a₂=1，a₃=0，a₄=0，a₅=1，a₆=1，…
∴数列{a_n}是以4为周期的数列，
S₂₀₁₇=504×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁=1009．
故答案为：1009．

点评 本题考查数列的前2017项和的求法，考查数列的周期性、余弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．