Question

14．已知△ABC中，顶点A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分线所在直线的方程是x+2y-1=0．
（1）求点C的坐标；
（2）求点A到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角平分线的性质可得，点B（-1，-1）关于直线是x+2y-1=0的对称点D（m，n）在AC上，由垂直以及中点在对称轴上求得D的坐标，再用两点式求得AC所在的直线方程，再把AC以及∠C的平分线所在的直线方程联立方程组，求得点C的坐标．
（2）根据点B、C的坐标求得直线BC方程，然后由点到直线的距离进行解答．

解答 解：（1）根据三角形内角平分线的性质可得，点B（-1，-1）关于直线是x+2y-1=0的对称点D（m，n）在AC上，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{m+1}•（-\frac{1}{2}）=-1}\\{\frac{m-1}{2}+2×\frac{n-1}{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D（$\frac{3}{5}$，$\frac{11}{5}$）．
由两点式求得AC（即AD）边所在的直线方程为$\frac{y-\frac{11}{5}}{1-\frac{11}{5}}$=$\frac{x-\frac{3}{5}}{2-\frac{3}{5}}$，
即6x+7y-19=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{6x+7y-19=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{5}}\\{y=-\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，
可得点C的坐标为（$\frac{31}{5}$，-$\frac{13}{5}$）．
（2）由B（-1，-1），C（$\frac{31}{5}$，-$\frac{13}{5}$）易得直线BC方程为：2x+9y+11=0．
则A（2，1）到直线BC的距离d=$\frac{|2×2+9×1+11|}{\sqrt{{2}^{2}+{9}^{2}}}$=$\frac{24\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，三角形内角平分线的性质，求两条直线的交点，属于中档题．