Question

8．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x（x∈R）
（1）求函数f（x）的周期及最小值；
（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，且a＞b，试求角B和角C．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式及正弦函数的性质即可得解．
（2）由（1）及f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简可得sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，结合a＞b，可得B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质可求B，进而利用正弦定理可求sinC，结合C的范围，即可得解C的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）_min=-$\sqrt{3}$．
（2）∵f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即：$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵a＞b，可得B∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）
∴B-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，
又∵b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（$\frac{π}{6}$，π），
∴C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$（舍去）．

点评 本题主要考查了 特殊角的三角函数值，两角差的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题时要注意验根，属于中档题．