Question

11．定义在R上的偶函数，记f（x）的导数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞1，则不等式f（1+2x）＞（$\frac{x}{1+2x}$）²•f（x）的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x²f（x），求出g（x）的导数，得到函数的单调性，求出g（1+2x）＞g（x），得到关于x的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
则g′（x）=x[xf′（x）+2f（x）]，
当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞1，
故x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增，
而f（-x）=f（x），
∴g（-x）=x²f（-x）=x²f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函数，
∴x＜0时，g（x）递减，
∵f（1+2x）＞（$\frac{x}{1+2x}$）²•f（x），
∴（1+2x）²f（1+2x）＞x²f（x），
∴g（1+2x）＞g（x），
∴|1+2x|＞|x|，
解得：x＞-$\frac{1}{3}$或x＜-1，
故不等式的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．