Question

18．函数f（x）=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+6{x}^{2}+1}$+1的最大值与最小值的乘积为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{7}{9}$
• C． $\frac{15}{16}$
• D． $\frac{17}{16}$

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{（3{x}^{2}+1）（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）-（{x}^{3}+x）（4{x}^{3}+12x）}{（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（{x}^{2}-1）^{3}}{{（x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$，从而利用导数的正负确定函数的单调性，从而确定函数的最值即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+6{x}^{2}+1}$+1，
∴f′（x）=$\frac{（3{x}^{2}+1）（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）-（{x}^{3}+x）（4{x}^{3}+12x）}{（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-（{x}^{2}-1）^{3}}{{（x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$，
故f（x）在（-∞，-1）上是减函数，
在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
且x→-∞时，f（x）→1；x→+∞时，f（x）→1；
而f（-1）=$\frac{-1-1}{1+6+1}$+1=$\frac{3}{4}$，
f（1）=$\frac{1+1}{1+6+1}$+1=$\frac{5}{4}$，
故f（-1）f（1）=$\frac{15}{16}$，
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．