Question

15．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，若$\overrightarrow c$满足|${\overrightarrow c$-（${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$）|=|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|，则|${\overrightarrow c}$|的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，故当且仅当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值为2$\sqrt{2}$，从而求得|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，若$\overrightarrow c$满足|${\overrightarrow c$-（${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$）|=|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|≥|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，即|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
当且仅当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值为2$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了向量模的运算性质、向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质的运用，属于中档题．