Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=$\sqrt{3}$CD，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点．
（1）求证：PA∥平面DEF．
（2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交DF于O，连结OF，推导出四边形CDFB是平行四边形，从而DF∥BC，进而O是AC中点，由此得到OE∥PA，从而能证明PA∥平面DEF．
（2）以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，交DF于O，连结OF，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，
E，F分别是PC，AB的中点．
∴CD$\underset{∥}{=}$BF，∴四边形CDFB是平行四边形，∴DF∥BC，
∴O是AC中点，∴OE∥PA，
∵PA?平面DEF，OE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF．
解：（2）∵在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，
△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，F是AB的中点，
∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD，
以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，则D（0，-$\sqrt{3}$，0），C（-1，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，0，0），
$\overrightarrow{FD}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-a-\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．