Question

如图，四棱锥 E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=AE=CD=2AB，M是EC的中点．
（I）求证：平面BCE⊥平面DCE；
（II）求锐二面角M-BD-C平面角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：由于平面ABCD，AB⊥AD，可建立以点A为坐标原点，直线AB、AD、AE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系．
设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），C（2，2，0），
∵M是EC的中点，∴M（1，1，1）

设平面BCE的法向量为，平面DCE的法向量为，则有：
，∴
∴可取
同理：
又，∴，
∴平面BCE⊥平面DCE
（II）解：由题意可知向量为平面BCD的法向量，设平面BDM的法向量为
∴，∴
令y₃=1，则x₃=2，z₃=-1
∴
又，∴，
∴锐二面角M-BD-C平面角的余弦值为．
分析：（I）建立空间直角坐标系，确定平面BCE的法向量、平面DCE的法向量，利用法向量的垂直关系，证明面面垂直；
（II）求得为平面BCD的法向量，平面BDM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查向量知识的运用，考查面面角，解题的关键是确定平面的法向量．