Question

5．若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，且当λ∈R时，|$\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}$|的最小值为2$\sqrt{2}$，则向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为（　　）

• A． 1 或2
• B． 2
• C． 1 或3
• D． 3

Answer 1

分析 设出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由|$\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}$|的最小值为2$\sqrt{2}$，求出使${（\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$的最小值为8的λ值，再代入 ${\overrightarrow{b}}^{2}$-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²${\overrightarrow{a}}^{2}$=9-2λ•2•3•cosθ+4λ²=8，解出cosθ，再由投影公式求解．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，且当λ∈R时，|$\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}$|的最小值为2$\sqrt{2}$，∴${（\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$的最小值为8，
即 ${\overrightarrow{b}}^{2}$-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²${\overrightarrow{a}}^{2}$=9-2λ•2•3•cosθ+4λ²的最小值为8，
当λ=$\frac{-（-12cosθ）}{2×4}=\frac{3}{2}cosθ$时，${（\overrightarrow{b}-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$有最小值为8，
即4×$（\frac{3}{2}cosθ）^{2}-12cosθ•（\frac{3}{2}cosθ）+9=8$，解得cos$θ=±\frac{1}{3}$．
向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ}{2}=\frac{4+6cosθ}{2}$，
∵cos$θ=±\frac{1}{3}$，∴$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=3或1．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查二次函数的性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．