题目内容

己知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若 $数学公式$ =1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值；
（2）若 $数学公式$ ，且θ在第三象限．求sin（θ+ $数学公式$ ）值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（1，2）•（2sinθ，cosθ）=2sinθ+2cosθ=1，
∴sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，∴（sinθ+cosθ）²=1+sin2θ= $\text{[math]}$ ，故sin2θ= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ =（2sinθ-1，cosθ）， $\text{[math]}$ =（2sinθ，cosθ-1）， $\text{[math]}$ ，且θ在第三象限
∴（2sinθ-1）²+cos²θ=（2sinθ）²+（cosθ-1）²，
解得 sinθ=- $\text{[math]}$ ，cosθ=- $\text{[math]}$ ．
∴sin（θ+ $\text{[math]}$ ）=sinθcos $\text{[math]}$ +cosθsin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ =1解得sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，平方求得sin2θ 的值．
（2）由 $\text{[math]}$ ，且θ在第三象限可得sinθ=- $\text{[math]}$ ，cosθ=- $\text{[math]}$ ，再利用两角和的正弦公式求得 sin（θ+ $\text{[math]}$ ）的值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的坐标运算，两个向量数量积公式，属于中档题．