Question

已知向量

m

=（2cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx）（x∈R），设函数f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=

π

4

，边AB=3，求边BC．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，运用正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求区间；
（2）由（1）求得角A，进而得到C，再由正弦定理，即可得到BC．

解答： 解：（1）向量

m

=（2cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx），
则函数f（x）=

m

•

n

-1=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2，即2sin（2A+

π

6

）=2，
∵角A为锐角，由2A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

6

，
又B=

π

4

，∴C=

7π

12

，∴sinC=sin

7π

12

=sin（

π

4

+

π

3

）=

6 + 2

4

．
∵AB=3，由正弦定理得BC=

ABsinA

sinC

=

3( 6 - 2)

2

．

点评：本题考查向量的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．