Question

是否存在常数a、b、c使得等式1×2²+2×3²+3×4²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

   

Answer 1

思路分析：数列求和在数列中占有重要的位置，有关存在性、探索性的问题是检验学生能力的关键所在．

    解：∵n(n+1)²=n³+2n²+n，

    ∴S_n=1×2²+2×3²+3×4²+…+n(n+1)²

    =(1³+2×1²+1)+(2³+2×2²+2)+…+(n³+2×n²+n)

    =(1³+2³+…+n³)+2(1²+2²+…+n²)+(1+2+…+n)．

    由于下列等式对正整数n都成立，

    1³+2³+…+n³=，

    1²+2²+…+n²= ，

    1+2+…+n= ．

    由此可知S_n=(3n²+11n+10)．

    综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设的等式对一切正整数n都成立．