Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，圆心为F₂且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为P．若∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据圆与渐近线相切得到圆的半径，结合直角三角形的边长关系以及双曲线的定义建立方程进行求解即可．

解答 解：设双曲线的一个焦点为F₂（c，0），双曲线的一条渐近线为y=$±\frac{b}{a}x$，取bx-ay=0，
则焦点到渐近线的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，
∵圆心为F₂且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为P．
∴圆的半径为b，
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，
∴PF₁⊥PF₁，
则PF₁-PF₂=2a，即PF₁=PF₂+2a=2a+b，
∵PF₁²+PF₂²=4c²，
∴（2a+b）²+b²=4c²，
即4a²+4ab+b²+b²=4c²，
即4ab+2b²=4c²-4a²=4b²，
即4ab=2b²，则b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系以及双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．