Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理求出tanA的值，即可求出A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，整理后利用基本不等式求出b+c的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，
由余弦定理得：36=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3

4

（b+c）²=

1

4

（b+c）²，
（当且仅当b=c时等号成立），
∴（b+c）²≤4×36，
又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
则b+c的取值范围是（6，12]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．