Question

19．已知函数y=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）-1
（1）说明该函数图象可由y=sinx的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．
（2）求函数的最值及满足最值的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（2）利用正弦函数的最值，求得函数的最值及满足最值的x的取值集合．

解答 解：（1）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的3倍，可得y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象向下平移1个单位，可得y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）-1的图象．
（2）函数y=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）-1的最小值为-4，此时，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即x=4kπ-$\frac{4π}{3}$，k∈Z．
函数y=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）-1的最大值为2，此时，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值，属于基础题．