Question

15．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{x-1}，x≤0}\\{-{x^2}+6x-5，x＞0}\end{array}}\right.$，若函数 y=f[f（x）-a]有6个零点，则实数a的取值范围是-4≤a≤-1或a＜-5．

Answer 1

分析 先求出f（x）的零点，然后求出f（x）-a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．

解答 解：函数f（x）的图象如下图所示：

当x≤0时，由f（x）=0得$\frac{x}{x-1}$=0，得x=0，
当x＞0时，由f（x）=0得-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，
由y=f[f（x）-a]=0得f（x）-a=0或f（x）-a=1，或f（x）-a=5，
即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，
a=-1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有1个根，此时共有6个根
a=-4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根

若a＞4，则f（x）=a有0个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有0个根
若a=4，则f（x）=a有1个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有1根
若4＞a＞3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有2个根
若a=3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有1个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有3个根
若3＞a＞1，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根
若a=1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有4个根
若1＞a＞0，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；
若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根；
-1＜a＜0时，f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；
若-4＜a≤-1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；
若a=-4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；
若-5≤a＜-4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有3个根，此时共有7个根；
a＜-5，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根
故-4≤a≤-1或a＜-5，函数 y=f[f（x）-a]有6个零点
故答案为：-4≤a≤-1或a＜-5．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．