Question

10．已知$tan\;α+\frac{1}{tan\;α}=\frac{5}{2}$，求$2{sin^2}（{3π-α}）-3cos（{\frac{π}{2}+α}）sin（{\frac{3π}{2}-α}）+2$的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简要求的式子，可得结果．

解答 解：∵$tan\;α+\frac{1}{tan\;α}=\frac{5}{2}$，即2tan²α-5tanα+2=0，解得$tan\;α=\frac{1}{2}$或tanα=2，
∴$2{sin^2}（{3π-α}）-3cos（{\frac{π}{2}+α}）sin（{\frac{3π}{2}-α}）+2=2{sin^2}α-3sin\;αcos\;α+2$
=$\frac{{2{{sin}^2}α-3sin\;αcos\;α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}+2$=$\frac{{2{{tan}^2}α-3tanα}}{{{{tan}^2}α+1}}+2$，
当$tanα=\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{{2×{{（{\frac{1}{2}}）}^2}-3×\frac{1}{2}}}{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+1}}+2=-\frac{4}{5}+2=\frac{6}{5}$；
当tanα=2时，原式=$\frac{{2×{2^2}-3×2}}{{{2^2}+1}}+2=\frac{2}{5}+2=\frac{12}{5}$，
故要求的式子的值为$\frac{6}{5}$或$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简、求值，属于中档题．