Question

12．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的取值范围$[2，\sqrt{5}）$．

Answer 1

分析 先根据a、b、c成等比数列求出b²=ac进而表示出c；再结合三角形三边之间的关系即可求出$\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 解：∵△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，
∴b²=ac，a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$≥2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，
∵a-b＜c，∴a-b＜$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴a²-ab-b²＜0，
∴$（\frac{a}{b}）^{2}-\frac{a}{b}-1＜0$，∴$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜\frac{a}{b}＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
∵a＞0，b＞0．
∴$0＜\frac{a}{b}＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，①
又∵b-a＜c，∴b-a＜$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴a²-ab+b²＞0，
∴$（\frac{a}{b}）^{2}-\frac{a}{b}$+1＞0，不等式恒成立 ②．
∵①②同时成立．
∴0＜$\frac{a}{b}$＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，∴$\frac{b}{a}＜\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的取值范围是[2，$\sqrt{5}$）．
故答案为：[2，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和不等式性质的合理运用．