Question

20．在直角坐标系xOy中，过点P（1，-2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）由过点P（1，-2）的直线l的倾斜角为45°，可得直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t²-6$\sqrt{2}$t+4=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）∵过点P（1，-2）的直线l的倾斜角为45°，可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=2x．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t²-6$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁t₂=4．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．