Question

9．过点P（1，2）的直线与圆x²+y²=1相切，且与直线ax+y-1=0垂直，则实数a的值为（　　）

• A． 0
• B． $-\frac{4}{3}$
• C． 0或$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先用点斜式设出切线的方程，再根据圆心O到切线的距离等于半径1，求得切线的斜率k的值，可得与之垂直的直线ax+y-1=0的斜率a的值．

解答 解：圆x²+y²=1的圆心为原点O（0，0），半径等于1，显然点P（1，2）在圆的外部．
过点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
根据圆心O到kx-y+2-k=0的距离等于半径1，可得$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3}{4}$．
当k=$\frac{3}{4}$时，过点P（1，2）的直线斜率为$\frac{3}{4}$，故与之垂直的直线ax+y-1=0的斜率为-$\frac{4}{3}$，∴a=$\frac{4}{3}$，
当k不存在时，a=0，
故选C．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．