Question

7．已知F是抛物线y²=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若$|MF|=\frac{4}{3}$，则∠NMF=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由$|MF|=\frac{4}{3}$，利用抛物线的定义可得：x_M+1=$\frac{4}{3}$，解得x_M，代入抛物线方程可得：y_M．可得：k_MF=tan∠MFx，进而得出．

解答 解：∵$|MF|=\frac{4}{3}$，∴x_M+1=$\frac{4}{3}$，解得x_M=$\frac{1}{3}$．
代入抛物线方程可得：${y}_{M}^{2}$=4×$\frac{1}{3}$，解得y_M=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
取y_M=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴k_MF=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-0}{\frac{1}{3}-1}$=-$\sqrt{3}$=tan∠MFx，
∴∠MFx=$\frac{2π}{3}$．
则∠NMF=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、平行线的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．