Question

18．已知变量a，b满足b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），若点Q（m，n）在直线y=2x+$\frac{1}{2}$上，则（a-m）²+（b-n）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{9}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• C． 9
• D． 3

Answer 1

分析 根据y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²；以及y=2x+$\frac{1}{2}$，所以（a-m）²+（b-n）²就是曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²与直线y=2x+$\frac{1}{2}$之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-m）²+（b-n）²的最小值．

解答 解：∵b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），
设b=y，a=x，则有：y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴（a-m）²+（b-n）²就是曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²与直线y=2x+$\frac{1}{2}$之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，求导：y′（x）=$\frac{3}{x}$-x，
与y=2x+$\frac{1}{2}$平行的切线斜率k=2=$\frac{3}{x}$-x，解得：x=1或x=-3（舍），
把x=1代入y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，得：y=-$\frac{1}{2}$，即切点为（1，-$\frac{1}{2}$），
切点到直线y=2x+$\frac{1}{2}$的距离：$\frac{|2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴（a-m）²+（b-n）²的最小值就是（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．