Question

11．设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，x轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{{3{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}$，点F₁，F₂为其左右焦点，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数，t∈R）
（1）求直线l的普通方程和曲线C的参数方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再求出参数方程．
（2）利用点到直线的距离公式，可得结论．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数，t∈R），普通方程为x-y-1=0；
曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{{3{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}$，直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；
（2）设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），曲线C上的点到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-1|}{\sqrt{2}}$，
∴曲线C上的点到直线l的最大距离为$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．